组合数（以及组合数公式的推导过程）

小甲鱼

组合数（以及组合数公式的推导过程）

前面给大家讲过了 -> 排列数以及排列数公式的推导过程

这一节小甲鱼给大家谈谈组合数（Combinations）。


组合数的概念

组合数（Combinations）是组合数学中的其中一个概念，

它表示从 n 个不同元素中取出 m 个元素（m ≤ n）的所有可能性。

不过跟排列数不一样，组合数对元素的排列顺序并没有要求！

（也就是说 AB 和 BA 在组合数中是算作相同的）

举个简单的例子，假设我们有三个不同颜色的小球：



当我们从中拿出 1 颗小球时，那么可能是拿到 A，也可能是拿到 B，当然 C 也是有可能被拿到的，所以有 3 种不同的组合（此时组合数为 3）

当我们从中拿出 2 颗小球时，那么所有存在的可能性是： AB、AC、BC，一共有 3 种不同的组合（此时组合数为 3）

当我们从中拿出 3 颗小球时，那么所有存在的可能性是：ABC，由于组合数不考虑排序，所以只有这 1 种组合（此时组合数为 1）


和排列数一样，组合数也有一个计算公式：



表示从 n 个不同元素中取出 m 个元素（m ≤ n）的所有可能性（元素的顺序不重要）。


组合数公式的推导过程

下面是排列数公式：



大家对比一下，跟组合数公式有啥子不一样的？

组合数其实就是在排列数的基础上，再去除以 m! 的即可~

那为什么是除以 m!，而不是 n! 或者别的什么东西呢？

来，我们思考一下，还是上面的 A、B、C 三颗小球，从中任意选 2 个出来

构成的所有排列数是：AB、AC、BC、BA、CA、CB

构成的所有组合数是：AB、AC、BC

大家一对比就很容易发现，所谓组合数，其实就是在排列数的基础上去掉重复的组合。

那好，重复的组合如何算？

比如选择 2 个元素，有多少种重复的组合？

其实就是 2! 种（AB、BA）。

如果选择 3 个元素，那么重复的组合就是 3! 种。

为什么呀？

因为所谓的 “m 个元素重复的组合数量”，其实就是求排列数 P(m, m) 嘛。

对不对？

比如 3 个元素，还是 A、B、C，那么它的排列数就是：

P(3, 3)，ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，一共 6 种

（它们都是相同的元素，但有 6 种不同排列方式）

因此，想要求出 C(n, m)，其实就是先求出 P(n, m)，再除去重复的 P(m, m) 即可~

我们可以推导出组合数的公式就是这么来的：




案例实战

到底是被雷劈到的概率高，还是买双色球中奖的概率高？

不二如是

组合数涉及到很多数学和概率论的知识，也被应用于很多其他领域，如金融、工程、计算机科学等。

在计算机科学中，组合数学是一个非常重要的领域，它被广泛应用于算法设计、数据结构、计算机网络等方面。例如，在计算机网络中，路由算法需要使用组合数学来计算最优路径，以确保数据能够以最佳路径传输。
在数学和概率论中，我们可以使用递归方法来计算组合数，这是一个非常有用的数学技巧。