[已解决]求助(doge

sfqxx

ZHY 有一个 n 个点的完全图，点 u 与点 v 的距离为 gcd(u,v)，求这个完全图的最大生成树的边权之和。

输入格式
一个正整数 n。

输出格式
一个整数，表示这个最大生成树的边权之和。

用python，并说明如果输入4会输出几？

最佳答案

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zhangjinxuan

2023-7-30 17:34:00

如果输入4，那么一种可行的方案的树边集就是 2->4, 1->3, 2->3，答案为 4。

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isdkz

首先，我们需要理解这个问题的背景和要求。给定一个有 n 个点的完全图，每个点的编号为 1 到 n。图中任意两个点 u 和 v 之间的距离定义为它们的最大公约数 (gcd)。现在我们需要找到这个完全图的最大生成树，并计算最大生成树上所有边的权值之和。

解决这个问题可以使用 Prim 算法，它是一种常用的求解最小生成树的贪心算法。然而，这里我们需要求解最大生成树，因此我们需要对图中的边权进行一些处理。

以下是解决问题的步骤：

1. 构建完全图：首先，我们需要构建这个完全图，计算任意两个点之间的距离，即它们的最大公约数。

2. 求解最大生成树：使用 Prim 算法来找到最大生成树，注意在 Prim 算法中，我们需要将边权取负数来找到最大生成树。

3. 计算最大生成树的边权之和：找到最大生成树后，将所有边的权值取负数再求和，即可得到最大生成树的边权之和。

接下来，我们用 Python 代码实现这个算法：

1. def gcd(a, b):
   
2.     while b:
   
3.         a, b = b, a % b
   
4.     return a
   
5. 
   
6. def build_complete_graph(n):
   
7.     graph = [[0] * n for _ in range(n)]
   
8.     for u in range(1, n):
   
9.         for v in range(u + 1, n):
   
10.             distance = gcd(u, v)
    
11.             graph[u][v] = graph[v][u] = distance
    
12.     return graph
    
13. 
    
14. def prim_max_spanning_tree(graph):
    
15.     n = len(graph)
    
16.     visited = [False] * n
    
17.     key = [float('-inf')] * n
    
18.     key[0] = 0
    
19.     max_spanning_tree_sum = 0
    
20. 
    
21.     for _ in range(n):
    
22.         max_key = float('-inf')
    
23.         u = -1
    
24.         for i in range(n):
    
25.             if not visited[ i] and key[ i] > max_key:
    
26.                 max_key = key[ i]
    
27.                 u = i
    
28.         if u == -1:
    
29.             break
    
30.         visited[u] = True
    
31.         max_spanning_tree_sum += max_key
    
32. 
    
33.         for v in range(n):
    
34.             if not visited[v] and graph[u][v] > key[v]:
    
35.                 key[v] = graph[u][v]
    
36. 
    
37.     return max_spanning_tree_sum
    
38. 
    
39. if __name__ == "__main__":
    
40.     n = int(input("请输入正整数 n："))
    
41.     graph = build_complete_graph(n)
    
42.     max_spanning_tree_sum = prim_max_spanning_tree(graph)
    
43.     print("最大生成树的边权之和为：", max_spanning_tree_sum)
    

复制代码

现在我们来回答问题，如果输入 n=4，即有 4 个点的完全图，我们运行上述代码会得到最大生成树的边权之和。请注意，这个问题的输出结果可能随着随机生成的图而变化，因为完全图的构建是根据点之间的 gcd 随机生成的。因此，每次运行得到的结果可能会不同。

希望这个回答能够解决你的问题！如果还有其他疑问，请随时提出。

陶远航

这个问题涉及到图论中的最大生成树和欧几里得算法。要计算n个点的完全图的最大生成树的边权之和，可以使用欧几里得算法来计算每对节点之间的距离，并找到最大生成树。

以下是解决该问题的Python代码：

1. import math
   
2. 
   
3. def gcd(a, b):
   
4.     if b == 0:
   
5.         return a
   
6.     return gcd(b, a % b)
   
7. 
   
8. def max_spanning_tree_weight(n):
   
9.     # 构建一个n个点的完全图
   
10.     graph = [[0] * n for _ in range(n)]
    
11.     for i in range(n):
    
12.         for j in range(i + 1, n):
    
13.             graph[ i][j] = graph[j][ i] = gcd(i+1, j+1)
    
14.    
    
15.     # 使用Prim算法计算最大生成树的边权之和
    
16.     parent = [-1] * n
    
17.     key = [0] * n
    
18.     mst_set = [False] * n
    
19. 
    
20.     key[0] = 0
    
21.     parent[0] = -1
    
22. 
    
23.     for _ in range(n - 1):
    
24.         max_key = -math.inf
    
25.         max_vertex = -1
    
26. 
    
27.         for v in range(n):
    
28.             if not mst_set[v] and key[v] > max_key:
    
29.                 max_key = key[v]
    
30.                 max_vertex = v
    
31. 
    
32.         mst_set[max_vertex] = True
    
33. 
    
34.         for v in range(n):
    
35.             if (
    
36.                 graph[max_vertex][v] > key[v]
    
37.                 and not mst_set[v]
    
38.             ):
    
39.                 key[v] = graph[max_vertex][v]
    
40.                 parent[v] = max_vertex
    
41. 
    
42.     # 计算最大生成树的边权之和
    
43.     weight_sum = sum(graph[ i][parent[ i]] for i in range(1, n))
    
44.     return weight_sum
    
45. 
    
46. n = int(input())
    
47. result = max_spanning_tree_weight(n)
    
48. print(result)
    

复制代码

如果输入4，该代码将输出4。
如果问题已经解决，请设置最佳答案

Mike_python小

问题描述：

ZHY 有一个由 n 个点组成的完全图，其中点 u 和点 v 之间的距离定义为它们的最大公约数（gcd）。现在需要计算这个完全图最大生成树的边权之和。

请使用 Python 编写代码，并说明当输入为 4 时，输出结果是多少。

解决方案：

下面是用 Python 编写的解决方案：

2. import math
4. def gcd(a, b):
5.     # 计算 a 和 b 的最大公约数
6.     while b != 0:
7.         a, b = b, a % b
8.     return a
10. def max_spanning_tree(n):
11.     # 构建完全图的最大生成树
12.     edges = []
13.     for u in range(1, n+1):
14.         for v in range(u+1, n+1):
15.             distance = gcd(u, v)
16.             edges.append((u, v, distance))
17.     edges.sort(key=lambda x: -x[2])  # 根据距离降序排序
18.     parent = list(range(n+1))
19.     weight_sum = 0
20.    
21.     def find(x):
22.         nonlocal parent
23.         if parent[x] != x:
24.             parent[x] = find(parent[x])
25.         return parent[x]
26.    
27.     def union(x, y):
28.         nonlocal parent
29.         parent[find(x)] = find(y)
30.    
31.     for u, v, distance in edges:
32.         if find(u) != find(v):
33.             union(u, v)
34.             weight_sum += distance
35.    
36.     return weight_sum
38. n = 4
39. result = max_spanning_tree(n)
40. print(result)

复制代码

当输入为 4 时，输出结果为 8。

球一个最佳答案谢谢啦！这对我非常重要！

sfqxx

懂得都懂我要干什么，测试

啊哈哈都错了，应该是4

sfqxx

isdkz 发表于 2023-7-30 15:08
首先，我们需要理解这个问题的背景和要求。给定一个有 n 个点的完全图，每个点的编号为 1 到 n。图中任意两 ...

怎么可能。输出应为4

歌者文明清理员

“doge”是什么意思

sfqxx

歌者文明清理员 发表于 2023-7-30 15:11
“doge”是什么意思

狗头

歌者文明清理员

sfqxx 发表于 2023-7-30 15:12
狗头

可是用在这里又是什么特殊意思呢，就是说你这个 dog head 想表达啥

liuhongrun2022

歌者文明清理员 发表于 2023-7-30 15:14
可是用在这里又是什么特殊意思呢，就是说你这个 dog head 想表达啥

开玩笑

zhangjinxuan

数据范围？

zhangjinxuan

如果输入4，那么一种可行的方案的树边集就是 2->4, 1->3, 2->3，答案为 4。

zhangjinxuan

好的，如果我是出题人，我会让数据范围设置为 1e4 ~ 1e5 之间，毕竟最值生成树太简单了，嗯，快告诉我数据范围？

zhangjinxuan

woqu，1e7，告辞

sfqxx

zhangjinxuan 发表于 2023-7-30 17:38
woqu，1e7，告辞