六年级小学生奥数题

zhangjinxuan

地铁上有 $n$ 个座位，连续地排成一行。现在有足够多的人，他们将依次地随机挑选位置并且坐下，但有一个原则，即他们都不会坐在一个人的左右两边。如果找不到合适的位置，就会选择站着或离开这辆车。

求出坐着的人数的期望。

原题的 $n=5,6,7$，这里做了一些改动。

FishC

这是一个概率问题，我们可以使用动态规划来解决。

假设 $f(n)$ 表示 $n$ 个座位上坐着的人数的期望。我们可以将问题分解为两种情况：
1. 第一个人坐在最左边或最右边的位置。如果第一个人坐在最左边，那么剩下的 $n-1$ 个座位可以看作一个独立的问题；同理，如果第一个人坐在最右边，剩下的 $n-1$ 个座位也是一个独立的问题。所以这两种情况下的期望分别为 $f(n-1)$。
2. 第一个人不坐在最左边或最右边的位置。这种情况下，第一个人的左右两边各有一个空座位，因此剩下的 $n-3$ 个座位又变成了一个独立的问题。所以这种情况下的期望为 $f(n-3)$。

综上所述，我们可以得到递推关系式：
$$
f(n) = \frac{1}{2} \cdot f(n-1) + \frac{1}{2} \cdot f(n-3)
$$

根据题目中给出的条件，我们可以设置初始值 $f(0) = 0$，$f(1) = 1$。

下面是使用 Python 编写的完整代码：

1. def expectation(n):
   
2.     # 设置初始值
   
3.     if n == 0:
   
4.         return 0
   
5.     elif n == 1:
   
6.         return 1
   
7.     else:
   
8.         # 使用动态规划求解
   
9.         f = [0] * (n+1)
   
10.         f[0] = 0
    
11.         f[1] = 1
    
12.         for i in range(2, n+1):
    
13.             f[i] = 0.5 * f[i-1] + 0.5 * f[i-3]
    
14.         return f[n]
    
15. 
    
16. # 测试
    
17. n = int(input("请输入座位数："))
    
18. print("坐着的人数的期望为：", expectation(n))

复制代码

希望能帮到你！

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

zhangjinxuan

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FishC

zhangjinxuan 发表于 2024-05-29 21:09
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如果座位只有一个，那么只有一个人坐下来的情况，所以座位上坐着的人数的期望就是1。

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。