[心之碎片] - 计数dp综合

柿子饼同学

各种计数... 但是没有那么难
对于描述状态要细分, 少了什么就加, 注意别重复
首先确定阶段, 即如何完成任务
然后描述状态分类, 转移
计数类问题要想哪些和哪些是无关的, 可以一起算
对于状态的变化, 考虑是由哪些操作变出来的, 提供转移的思路
正难则反
总情况数减去不合法情况数
计算贡献

A - 网格删边
f[i, j, 0/1] 前 i 列, 删除 j 个边, 是否连通的方案数

B - 染色边
发现只有同对角线上的才会互相影响, 每个对角线是并列的
于是预处理每个对角线长度的方案数, 然后预处理乘积

C - 分段 i

D - 神秘密码
状压

E - 树上连通块个数
给定一棵树
记 f(i, j) 表示所有编号在区间 [i, j] 的点在树上形成的联通块的个数。
对于所有的区间[i. j]的f(i, j)求和

一个结论, 一些点构成的连通块个数等于 这些点的个数 - 这些点直接相互连边的个数
然后先求总数, 对于每条边减去贡献

1. cin >> n;
   
2. 
   
3. // 假设没有边, 那么所有的 f 的和
   
4. for (int i = 1; i <= n; i++) {
   
5.     ans += 1ll * (n - i + 1) * i;
   
6. }
   
7. // 有边了, 减去一些东西
   
8. for (int i = 1; i < n; i++) {
   
9.     ll u, v;
   
10.     cin >> u >> v;
    
11.     if (u > v)
    
12.         swap(u, v);
    
13. 
    
14.     ans -= u * (n - v + 1);
    
15. }
    
16. cout << ans;

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F - 灵魂之树的三重考验
高维的运算可以由低维的堆出来

1. // 现在对于一个点 u, 她的子树 (包括她的父节点上面的那个树) 大小分别是 a[1]...a[n]
   
2. // f[i] 表示第 3 个数是 a[i], 前面两个数是 x, y (在 1...i-1 选) 的和
   
3. // 不好求, 降维
   
4. // g[i] 表示第 2 个数是 a[i], 前面一个数是 x (在 1...i-1 选) 的和
   
5. // 现在 f[i] = a[i] * g[i]
   
6. // g[i] = a[i] * s[i], s 是 a 的前缀和, 完成了
   
7. // s[i] = s[i - 1] + a[i]
   
8. // ans += f[i]

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G - 区间表达式

1. #include <bits/stdc++.h>
   
2. using namespace std;
   
3. 
   
4. typedef long long ll;
   
5. 
   
6. const ll P = 998244353;
   
7. 
   
8. string s;
   
9. ll cur, sum, digit_s, k;
   
10. ll ans;
    
11. 
    
12. int main(){
    
13.     ios::sync_with_stdio(0);
    
14.     cin.tie(0);
    
15.    
    
16.     cin >> s;
    
17.     for(auto i : s){
    
18.         if(isdigit(i)){
    
19.             digit_s++;
    
20.             // i 自己也算
    
21.             k++;
    
22. 
    
23.             // cur 计算的是连续数字段的所有贡献
    
24.             // 这样子可以和 sum 拼起来就是完整的贡献
    
25.             cur = (cur*10 + k * (i - '0')) % P;
    
26.             // ... + ... + ... ](1) + ... * ... * ..i
    
27.             // i是右端点, 左端点可以取 (1) 处
    
28.             // 左端点可以取 (1) + 1 到 i 处
    
29.             ans = (ans + sum + cur) % P;
    
30.         }
    
31.         else if(i == '+'){
    
32.             // 如果是加号, 后面的每个数字会被算 (前面有几个数字) 次
    
33.             // sum 代表 i 前面的所有表达式的和, 连续乘积不能算进去
    
34.             sum += cur;
    
35.             k = digit_s;
    
36.             cur = 0;
    
37.         }
    
38.         else{
    
39.             // 如果是乘号, 后面的每个数会被计算 cur 次
    
40.             k = cur;
    
41.             cur = 0;
    
42.         }
    
43.     }
    
44.     cout << ans;
    
45.    
    
46.     return 0;
    
47. }

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I - 色子
遇到小的数字想状压, 然后对于取不到的需要加上取不到的概率

J - 小数拆分
对于一个集合增长我们需要总结出经过了哪几类操作

K - 狼人
树形背包, 注意不能实时更新 f , 并且注意转移顺序
对于这种连边限制的题想想是否是一款树

L - 火柴棒等式
数据范围变成了 3e4

可以考虑同时枚举两个数, 算上进位

1. // l 代表是否是第 1 位(不是第一位的话填 0 就无法截断, 第一位的话填什么都行) , d 代表进位, a, b 分别代表 A, B 是否截断了
   
2. int dfs(int sum, bool l, bool d, bool a, bool b) {
   
3.     if (a && b)
   
4.         // 可能有进位
   
5.         return (!d && !sum) || (d && sum == 2);
   
6. 
   
7.     int& res = f[sum][l][d][a][b];
   
8.     if (~res)
   
9.         return res;
   
10.     res = 0;
    
11. 
    
12.     for (int x = 0; x <= (a ? 0 : 9); x++)
    
13.         for (int y = 0; y <= (b ? 0 : 9); y++) {
    
14.             int z = (x + y + d) % 10;
    
15.             int nsum = sum - (a ? 0 : t[x]) - (b ? 0 : t[y]) - t[z];
    
16.             bool nd = x + y + d > 9;
    
17. 
    
18.             // 分类讨论能否给 A, B 截断处理
    
19.             if (nsum < 0)
    
20.                 continue;
    
21.             if (!a && !b)
    
22.                 Add(res, dfs(nsum, 0, nd, 0, 0));
    
23.             if (!a && (y || b || l))
    
24.                 Add(res, dfs(nsum, 0, nd, 0, 1));
    
25.             if ((x || a || l) && !b)
    
26.                 Add(res, dfs(nsum, 0, nd, 1, 0));
    
27.             if ((x || a || l) && (y || b || l))
    
28.                 Add(res, dfs(nsum, 0, nd, 1, 1));
    
29.         }
    
30. 
    
31.     return res;
    
32. }

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FishC

鱼油，你好！以下是有关计数DP综合问题的简要解答：

### A - 网格删边
#### 题目理解：
在一个网格中，我们需要确定删除一定数量的边后，仍然保持连通的方案数。

#### 思路：
1. **确定阶段**：按列处理删除边的数目。
2. **描述状态**：`f(i, j)`表示前i列，删除j个边后连通的方案数。
3. **状态转移**：需根据前一列的状态及当前列的操作来决定。

### B - 染色边
#### 题目理解：
要对边进行染色，考虑到只会影响同一对角线上的边。

#### 思路：
1. **确定独立部分**：每个对角线上的边是独立的，可以单独考虑。
2. **预处理**：对每个对角线长度预先计算出染色方案数。
3. **组合**：将这些预处理好的方案数进行组合。

### C - 分段i
#### 题目理解：
尚不明确，请进一步补充题目信息。

### D - 神秘密码
#### 题目理解：
给定一个包含加号和乘号的表达式，求解特定贡献。

#### 思路：
1. **状态压缩**：`状压`可以帮我们管理复杂的状态变化。
2. **动态规划**：通过计算数字连续段和操作符号累积贡献。

### E - 树上连通块个数
#### 题目理解：
在一个树结构中，对于任意区间的点，求它们组成的连通块数。

#### 思路：
1. **初始假设**：假设没有边，总共的连通块数。
2. **减少不合法情况**：对于每条边，减去它在各区间的贡献。
3. **计算公式**：总结连通块数为点数减去连边数。

#### 示例代码：

1. cin >> n;
   
2. for (int i = 1; i > u >> v;
   
3.     if (u > v) swap(u, v);
   
4.     ans -= u * (n - v + 1);
   
5. }
   
6. cout << ans / 2 << endl; //每个区间计算两次要除以2

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希望这些解答能帮到你！如有进一步疑问，请随时提问。

以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。

学习编程中的Ben

orz！！！
你应该是报名 S 组吧？
今天刚刚把 J 组的知识点学完
老师和我说明天开始让我打模拟赛了嘤嘤嘤

学习编程中的Ben

我去，我竟然看懂了一丢丢.
昨天老师给我布置的作业就是 DP 综合练习。。。

sfqxx

看看动规

柿子饼同学

学习编程中的Ben 发表于 2024-8-29 16:20
orz！！！
你应该是报名 S 组吧？
今天刚刚把 J 组的知识点学完

是的, 打完就退役, 年纪大了
你加油

简柠啦

很cool的阳

trinityee

看啦

森林格格屋

谢谢

XiaoMengXin-1

XiaoMengXin-1

cc885544