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好的，以下是使用Markdown表示数学符号的解答：
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**第1题：**
若 \( \frac{1}{a} - |a| = 1 \)，求 \( \frac{1}{a} + |a| \)。
**解答：**
设 \( x = |a| \ge 0 \)，分两种情况：
- **情况一：\( a > 0 \)**，则 \( |a| = a \)，原式变为
\[
\frac{1}{a} - a = 1.
\]
两边乘以 \( a \) 得 \( 1 - a^2 = a \)，即
\[
a^2 + a - 1 = 0.
\]
解得 \( a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)。因 \( a > 0 \)，取
\[
a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}.
\]
则 \( \frac{1}{a} = \frac{2}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \)。
于是
\[
\frac{1}{a} + |a| = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \sqrt{5}.
\]
- **情况二：\( a < 0 \)**，则 \( |a| = -a \)，原式变为
\[
\frac{1}{a} - (-a) = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{a} + a = 1.
\]
两边乘以 \( a \) 得 \( 1 + a^2 = a \)，即
\[
a^2 - a + 1 = 0.
\]
判别式 \( \Delta = 1 - 4 = -3 < 0 \)，无实数解。
故最终结果为 \( \sqrt{5} \)。
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**第2题：**
若 \( \frac{1}{b} + |b| = 2 \)，求 \( \frac{1}{b} - |b| \)。
**解答：**
设 \( y = |b| \ge 0 \)，分两种情况：
- **情况一：\( b > 0 \)**，则 \( |b| = b \)，原式变为
\[
\frac{1}{b} + b = 2.
\]
两边乘以 \( b \) 得 \( 1 + b^2 = 2b \)，即
\[
b^2 - 2b + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad (b - 1)^2 = 0.
\]
解得 \( b = 1 \)。此时 \( \frac{1}{b} = 1 \)，所以
\[
\frac{1}{b} - |b| = 1 - 1 = 0.
\]
- **情况二：\( b < 0 \)**，则 \( |b| = -b \)，原式变为
\[
\frac{1}{b} + (-b) = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{b} - b = 2.
\]
两边乘以 \( b \)（注意 \( b < 0 \)，但等式依然成立）得
\[
1 - b^2 = 2b \quad \Rightarrow \quad b^2 + 2b - 1 = 0.
\]
解得
\[
b = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}.
\]
因 \( b < 0 \)，取 \( b = -1 - \sqrt{2} \)（另一个 \( -1 + \sqrt{2} > 0 \)，舍去）。
则
\[
\frac{1}{b} = \frac{1}{-1 - \sqrt{2}} = -(\sqrt{2} - 1) \quad (\text{化简后})，
\]
\[
|b| = 1 + \sqrt{2}.
\]
于是
\[
\frac{1}{b} - |b| = -(\sqrt{2} - 1) - (1 + \sqrt{2}) = -\sqrt{2} + 1 - 1 - \sqrt{2} = -2\sqrt{2}.
\]
故第二题答案为 \( 0 \) 或 \( -2\sqrt{2} \)。
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如果你还需要我之前回答的字符串输出问题的答案，请告诉我。
以上回复来自 FishC AI 小助理，如未能正确解答您的问题，请继续追问。 |
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