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[竞赛] 解方程:2^(x-1) = 1 / x

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发表于 2024-1-10 05:53:13 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
本帖最后由 小甲鱼的二师兄 于 2024-1-11 02:48 编辑

解方程:

2x1=1x


答案是 1,置顶楼层正解~



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发表于 2024-1-10 22:27:33 | 显示全部楼层
前几天看到论坛似乎支持 LaTeX 的数学格式了,来试试
首先观察到 2x1 定义在 R 上且值域为 (0,+)1x(0,+) 当且仅当 x(0,+),因此方程的根如果存在一定出现在 (0,+)
(0,+)xlog2x 是单调递增的一一映射,因此可以将方程简化为 x1=log2x,即 x+log2x=1。不难看出左侧在定义域上是单调递增的,那么方程的根至多有一个。
0<x<1 时,log2x<0,因此x+log2x<1;当 x>1 时,log2x>0,因此 x+log2x>1,故这两个区间上不存在解。
x=1 时,恰好有 x+log2x=1,这也就是原方程唯一的解。

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发表于 2024-1-10 18:29:41 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2024-1-11 02:47:50 | 显示全部楼层
dolly_yos2 发表于 2024-1-10 22:27
前几天看到论坛似乎支持 LaTeX 的数学格式了,来试试
首先观察到 2x1 定义在 R 上且值域 ...

厉害!
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